2次関数 $y = -x^2 + 4x + m$ のグラフが、$x$軸と異なる2点で交わる時の、$m$ の値の範囲を求める問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) $m > 4$ (2) $m < 4$ (3) $m > -4$ (4) $m < -4$

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + m$ のグラフが、$x$軸と異なる2点で交わる時の、$m$ の値の範囲を求める問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) $m > 4$

(2) $m < 4$

(3) $m > -4$

(4) $m < -4$

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるためには、2次方程式 $-x^2 + 4x + m = 0$ が異なる2つの実数解を持たなければなりません。

判別式 $D$ を計算し、$D > 0$ となる条件を求めます。

まず、方程式を $x^2 - 4x - m = 0$ と変形します。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。この場合、$a=1$, $b=-4$, $c=-m$ なので、

$D = (-4)^2 - 4(1)(-m) = 16 + 4m$

グラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるためには、$D > 0$ である必要があります。

したがって、

$16 + 4m > 0$

$4m > -16$

$m > -4$

3. 最終的な答え

$m > -4$

したがって、答えは (3) です。