与えられた関数を、指定された変数で微分する問題（1番）と、定積分を計算する問題（2番）です。

はい、承知いたしました。画像に書かれた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた関数を、指定された変数で微分する問題（1番）と、定積分を計算する問題（2番）です。

2. 解き方の手順

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1. 微分**

(a) $y = \cos^{-1}(e^{3x})$ (x)

$y' = \frac{-3e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}$

(b) $v = -\omega \sin(\omega t)$ (t)

$v' = -\omega^2 \cos(\omega t)$

(c) $u = A \cos(\varphi + \alpha)$ ($\varphi$)

$\frac{du}{d\varphi} = -A \sin(\varphi + \alpha)$

(d) $x = bt \sin(\omega t)$ (t)

$\frac{dx}{dt} = b \sin(\omega t) + bt \omega \cos(\omega t)$

(e) $q = C e^{-\frac{t}{RC}}$ (t)

$\frac{dq}{dt} = -\frac{C}{RC} e^{-\frac{t}{RC}} = -\frac{1}{RC} q$

(f) $u = \tan^{-1} 5z$ (z)

$\frac{du}{dz} = \frac{5}{1 + (5z)^2} = \frac{5}{1 + 25z^2}$

(g) $U = \frac{k}{2} (x - x_0)^2$ (x)

$\frac{dU}{dx} = k(x - x_0)$

(h) $y = \frac{\sin^{-1} s}{\sqrt{1 - s^2}}$ (s)

$\frac{dy}{ds} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}\sqrt{1-s^2} - (\sin^{-1} s) \frac{-s}{\sqrt{1-s^2}}}{1 - s^2} = \frac{1 + s \frac{\sin^{-1} s}{\sqrt{1-s^2}}}{1 - s^2} = \frac{\sqrt{1 - s^2} + s \sin^{-1} s}{(1-s^2)^{3/2}}$

(i) $y = t^t$ (t)

$\log y = t \log t$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = \log t + t(\frac{1}{t}) = \log t + 1$

$\frac{dy}{dt} = y(\log t + 1) = t^t (\log t + 1)$

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2. 定積分**

(a) $\int_{\frac{a}{2}}^{\frac{3a}{2}} \frac{M}{a} z^2 dz = \frac{M}{a} \left[ \frac{1}{3} z^3 \right]_{\frac{a}{2}}^{\frac{3a}{2}} = \frac{M}{3a} \left( (\frac{3a}{2})^3 - (\frac{a}{2})^3 \right) = \frac{M}{3a} \left( \frac{27a^3}{8} - \frac{a^3}{8} \right) = \frac{M}{3a} \frac{26a^3}{8} = \frac{13Ma^2}{12}$

(b) $\int_0^{2\pi} \frac{Ma^2}{2\pi} d\varphi = \frac{Ma^2}{2\pi} [\varphi]_0^{2\pi} = \frac{Ma^2}{2\pi} (2\pi - 0) = Ma^2$

(c) $\int_0^t (-gs + v_0 \sin \theta) ds = \left[ -\frac{1}{2}gs^2 + v_0 s \sin \theta \right]_0^t = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin \theta$

3. 最終的な答え

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1. 微分**

(a) $y' = \frac{-3e^{3x}}{\sqrt{1-e^{6x}}}$

(b) $v' = -\omega^2 \cos(\omega t)$

(c) $\frac{du}{d\varphi} = -A \sin(\varphi + \alpha)$

(d) $\frac{dx}{dt} = b \sin(\omega t) + bt \omega \cos(\omega t)$

(e) $\frac{dq}{dt} = -\frac{1}{RC} q$

(f) $\frac{du}{dz} = \frac{5}{1 + 25z^2}$

(g) $\frac{dU}{dx} = k(x - x_0)$

(h) $\frac{dy}{ds} = \frac{\sqrt{1 - s^2} + s \sin^{-1} s}{(1-s^2)^{3/2}}$

(i) $\frac{dy}{dt} = t^t (\log t + 1)$

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2. 定積分**

(a) $\frac{13Ma^2}{12}$

(b) $Ma^2$

(c) $-\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin \theta$