## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 0, 1, 2, 3, 4, 5 の中から異なる4つの数字を使って作られる4桁の整数は何個あるか。

(2) 1, 1, 1, 2, 2, 3 の6個の数字をすべて並べてできる6桁の整数のうち、10万の位が1である整数は何個あるか。

(3) 互いに異なる5個の玉を2つの箱A, Bに分けて入れる。A, Bの箱にそれぞれ少なくとも1個の玉が入る分け方は何通りあるか。

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2. 解き方の手順

**(1)**

* 4桁の整数を作るので、千の位には0以外の数字が入る必要があります。

* まず、千の位に0以外の数字を入れる場合の数を考えます。0以外の数字は1, 2, 3, 4, 5 の5つなので、5通りです。

* 次に、百の位、十の位、一の位に入れる数字を考えます。千の位で使った数字と0を除く5つの数字から3つを選んで並べるので、$_{5}P_{3}$ 通りです。

* 千の位に0が入らないようにするために、全体の並び方から千の位が0である場合を引く方法でも解けます。6個の数字から4個を選んで並べる総数は、$_{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。千の位が0である場合の数は、残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$_{5}P_{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。したがって、4桁の整数は $360 - 60 = 300$ 個となります。

* 上記の計算をまとめると、$5 \times {}_{5}P_{3} = 5 \times (5 \times 4 \times 3) = 5 \times 60 = 300$ となります。

**(2)**

* 10万の位が1である6桁の整数を作ることを考えます。

* 10万の位に1を固定すると、残りの5つの位には、1, 1, 2, 2, 3 の5つの数字を並べることになります。

* 5つの数字の並べ方は、同じものを含む順列の公式を用いて計算します。

$$\frac{5!}{2!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{4} = 30$$

**(3)**

* 5個の玉をA, Bの箱に入れるとき、それぞれの箱に少なくとも1個の玉が入るようにします。

* まず、5個の玉をA, Bの箱に入れるすべての方法を考えます。各玉について、Aに入れるかBに入れるかの2通りがあるので、$2^5 = 32$ 通りです。

* 次に、AまたはBが空になる場合を除きます。Aが空の場合とBが空の場合の2通りを除きます。

* したがって、それぞれの箱に少なくとも1個の玉が入る分け方は、$32 - 2 = 30$ 通りです。

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3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 30個

(3) 30通り