関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-4 \le x \le 3$ のとき、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ である。このとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x$ の変域に $x=0$ が含まれているので、$y$ の最小値は $y=0$ となる可能性がある。

$x = -4$ のとき、$y = a(-4)^2 = 16a$

$x = 3$ のとき、$y = a(3)^2 = 9a$

$y$ の最大値が24であるので、$16a = 24$ または $9a = 24$ となる。

$16a = 24$ のとき、$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$9a = 24$ のとき、$a = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

しかし、$y$ の変域が $b \le y \le 24$ であることから、$a$ は負の値をとる必要がある。

$a < 0$ なので、$x=-4$ または $x=3$ のときに、$y=24$ となることはない。したがって、$y$の最大値は、$x=0$から遠い方の$x$の値をとるときに実現する。

$y$ の最大値が24となるのは、$x=-4$ または $x=3$ のとき。

$a < 0$ より、$y$ は $x=0$ で最大値0をとる。したがって、最小値が $y=24$ になる。

$a$ が負なので、$x$ が $-4 \le x \le 3$ の範囲にあるとき、$y$ は $x = 0$ で最大値を取り、$x = -4$ または $x = 3$ のいずれかで最小値を取る。

$x = -4$ のとき $y = 16a$

$x = 3$ のとき $y = 9a$

$a < 0$ なので、$|16a| > |9a|$ であるから、$16a = 24$ となることはない。

$x=-4$のとき、$y = 16a$. $x=3$のとき、$y = 9a$. $a < 0$なので、$16a < 9a < 0$.

したがって、$b = 16a$ で、$y$の変域は、$16a \le y \le 0$となる。

問題文より$b \le y \le 24$となるから$a<0$ではない。誤りである。$a>0$の間違いである。

$a > 0$のとき、$y$は$x=0$で最小値$y=0$を取り、$x=-4$または$x=3$のどちらか大きい方で最大値をとる。$a > 0$の場合、$b=0$になる。$y$の最大値は24となる。

$a>0$なので、

$x=-4$のとき$y = 16a$、

$x=3$のとき、$y = 9a$

したがって、$16a=24$

$a = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

$a = \frac{3}{2}$のとき、

$x$ が $-4 \le x \le 3$の範囲のとき、$y$は$0 \le y \le 24$ の範囲を取る。したがって、$b = 0$。

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}$, $b = 0$