以下の3つの不定積分を求める問題です。 (i) $\int x \log(2x) dx$ (ii) $\int \sin(2x+1) dx$ (iii) $\int \sin^{-1}(x) dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を求める問題です。

(i) $\int x \log(2x) dx$

(ii) $\int \sin(2x+1) dx$

(iii) $\int \sin^{-1}(x) dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int x \log(2x) dx$ の計算

部分積分を用いる。$u = \log(2x)$、$dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int x \log(2x) dx = \frac{x^2}{2} \log(2x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log(2x) - \int \frac{x}{2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log(2x) - \frac{x^2}{4} + C$

(ii) $\int \sin(2x+1) dx$ の計算

$u = 2x+1$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$となる。

$\int \sin(2x+1) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} du$

$= \frac{1}{2} \int \sin(u) du$

$= \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C$

$= -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$

(iii) $\int \sin^{-1}(x) dx$ の計算

部分積分を用いる。$u = \sin^{-1}(x)$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = x$となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int \sin^{-1}(x) dx = x \sin^{-1}(x) - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算する。$t = 1-x^2$ とすると、$dt = -2x dx$ より、$x dx = -\frac{1}{2} dt$となる。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot (-\frac{1}{2}) dt$

$= -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$

$= -\frac{1}{2} \cdot 2 t^{1/2} + C'$

$= -\sqrt{1-x^2} + C'$

よって、

$\int \sin^{-1}(x) dx = x \sin^{-1}(x) - (-\sqrt{1-x^2}) + C$

$= x \sin^{-1}(x) + \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(i) $\int x \log(2x) dx = \frac{x^2}{2} \log(2x) - \frac{x^2}{4} + C$

(ii) $\int \sin(2x+1) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$

(iii) $\int \sin^{-1}(x) dx = x \sin^{-1}(x) + \sqrt{1-x^2} + C$