$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$ を計算します。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を書き換えます。

$\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt[3]{(2-x)^2}} dx = \int_{0}^{2} (2-x)^{-\frac{2}{3}} dx$

次に、置換積分を行います。$u = 2-x$ とおくと、$du = -dx$ となります。また、$x=0$ のとき $u=2$、$x=2$ のとき $u=0$ です。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{2}^{0} u^{-\frac{2}{3}} (-du) = \int_{0}^{2} u^{-\frac{2}{3}} du$

ここで、不定積分を計算します。

$\int u^{-\frac{2}{3}} du = \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3u^{\frac{1}{3}} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} u^{-\frac{2}{3}} du = [3u^{\frac{1}{3}}]_0^2 = 3(2^{\frac{1}{3}}) - 3(0^{\frac{1}{3}}) = 3\sqrt[3]{2}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt[3]{2}$

## (4) の問題

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = x^2$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。また、$x=0$ のとき $u=0$、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ です。したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} xe^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du$

ここで、不定積分を計算します。

$\int e^{-u} du = -e^{-u} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_0^\infty = \frac{1}{2} (\lim_{u \to \infty} (-e^{-u}) - (-e^{-0})) = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$