定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を、$a > 0$ の条件のもとで計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を、$a > 0$ の条件のもとで計算します。

2. 解き方の手順

積分を計算するには、絶対値の中身 $(x-a)(x-1)$ が正か負かで場合分けする必要があります。

まず、$f(x) = (x-a)(x-1)$ とおきます。

$f(x) = 0$ となるのは $x = a$ または $x = 1$ のときです。

積分範囲は $[-1, 1]$ なので、以下の３つの場合に分けて考えます。

(i) $0 < a \le 1$ のとき

この場合、$x = a$ で符号が変化します。

$-1 \le x \le a$ のとき、$(x-a) \le 0$ かつ $(x-1) \le 0$ なので、$(x-a)(x-1) \ge 0$ となります。

$a \le x \le 1$ のとき、$(x-a) \ge 0$ かつ $(x-1) \le 0$ なので、$(x-a)(x-1) \le 0$ となります。

したがって、

$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = \int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx + \int_{a}^{1} -(x-a)(x-1) dx$

$= \int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx + \int_{a}^{1} (-x^2 + (a+1)x - a) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax]_{-1}^{a} + [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{a+1}{2}x^2 - ax]_{a}^{1}$

$= (\frac{1}{3}a^3 - \frac{a+1}{2}a^2 + a^2) - (-\frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} + (-a)) + (-\frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} - a) - (-\frac{1}{3}a^3 + \frac{a+1}{2}a^2 - a^2)$

$= \frac{2}{3}a^3 - (a+1)a^2 + 2a^2 - \frac{2}{3} + (a+1) + (-2a)$

$= \frac{2}{3}a^3 - a^3 - a^2 + 2a^2 - \frac{2}{3} + a + 1 - 2a = -\frac{1}{3}a^3 + a^2 - a + \frac{1}{3}$

(ii) $a > 1$ のとき

この場合、$-1 \le x \le 1$ において、$(x-a) < 0$ かつ $(x-1) \le 0$ なので、 $(x-a)(x-1) \ge 0$ となります。

したがって、

$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = \int_{-1}^{1} (x-a)(x-1) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a) - (-\frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} - a)$

$= \frac{2}{3} + 2a = 2a + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = -\frac{1}{3}a^3 + a^2 - a + \frac{1}{3}$

$a > 1$ のとき、$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = 2a + \frac{2}{3}$