与えられた3つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{(2x+1)^{3}}dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}x \cos^{4}x dx$ (3) $\int_{1}^{e} \sqrt{x} \log x dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{(2x+1)^{3}}dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}x \cos^{4}x dx$

(3) $\int_{1}^{e} \sqrt{x} \log x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{x}{(2x+1)^{3}}dx$

$t = 2x + 1$ と置換すると、$x = \frac{t-1}{2}$、$dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

積分範囲は、$x: 0 \to 1$に対して、$t: 1 \to 3$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{(2x+1)^{3}}dx = \int_{1}^{3} \frac{\frac{t-1}{2}}{t^{3}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{t-1}{t^{3}} dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{3} (t^{-2} - t^{-3}) dt$

$\frac{1}{4} \left[ -t^{-1} - (-\frac{1}{2} t^{-2}) \right]_{1}^{3} = \frac{1}{4} \left[ -\frac{1}{t} + \frac{1}{2t^{2}} \right]_{1}^{3} = \frac{1}{4} \left[ (-\frac{1}{3} + \frac{1}{18}) - (-1 + \frac{1}{2}) \right] = \frac{1}{4} \left[ -\frac{5}{18} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{-5+9}{18} \right] = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{18} = \frac{1}{18}$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}x \cos^{4}x dx$

$\sin^{3}x = \sin x \cdot \sin^{2}x = \sin x (1 - \cos^{2}x)$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3}x \cos^{4}x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (1 - \cos^{2}x) \cos^{4}x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{4}x - \cos^{6}x) \sin x dx$

$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$

積分範囲は、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$に対して、$t: 1 \to 0$ となります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{4}x - \cos^{6}x) \sin x dx = \int_{1}^{0} (t^{4} - t^{6}) (-dt) = \int_{0}^{1} (t^{4} - t^{6}) dt = \left[ \frac{t^{5}}{5} - \frac{t^{7}}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7-5}{35} = \frac{2}{35}$

(3) $\int_{1}^{e} \sqrt{x} \log x dx$

部分積分を行います。

$u = \log x$, $dv = \sqrt{x} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$\int_{1}^{e} \sqrt{x} \log x dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_{1}^{e} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{2}{3} \left[ x^{\frac{3}{2}} \log x \right]_{1}^{e} - \frac{2}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{e}$

$= \frac{2}{3} \left[ e^{\frac{3}{2}} \log e - 1^{\frac{3}{2}} \log 1 \right] - \frac{4}{9} \left[ e^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{2}{3} e^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{9} (e^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{6 e^{\frac{3}{2}} - 4 e^{\frac{3}{2}} + 4}{9} = \frac{2 e^{\frac{3}{2}} + 4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{18}$

(2) $\frac{2}{35}$

(3) $\frac{2e^{\frac{3}{2}}+4}{9}$