$a > 0$ のとき、定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (x-a)(x-1)$ とおく。絶対値の中の符号が変わる点を探す。

$f(x) = 0$ となるのは、$x = a$ または $x = 1$ のときである。

積分区間は $-1 \leq x \leq 1$ である。

$a > 0$ より、$a$ の値によって場合分けが必要になる。

(i) $0 < a < 1$ の場合:

$-1 \leq x \leq a$ のとき、$x-a \leq 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、$(x-a)(x-1) \geq 0$。

$a < x \leq 1$ のとき、$x-a > 0$ かつ $x-1 \leq 0$ なので、$(x-a)(x-1) \leq 0$。

したがって、

\begin{align*} \int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx &= \int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx + \int_{a}^{1} -(x-a)(x-1) dx \\ &= \int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx - \int_{a}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} + ax \right]_{-1}^{a} - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} + ax \right]_{a}^{1} \\ &= \left( \frac{a^3}{3} - \frac{(a+1)a^2}{2} + a^2 \right) - \left( \frac{-1}{3} - \frac{(a+1)}{2} - a \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{(a+1)}{2} + a \right) + \left( \frac{a^3}{3} - \frac{(a+1)a^2}{2} + a^2 \right) \\ &= 2\left(\frac{a^3}{3} - \frac{a^3 + a^2}{2} + a^2\right) - \frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} - a - \frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a \\ &= 2\left( \frac{2a^3 - 3a^3 - 3a^2 + 6a^2}{6} \right) - \frac{2}{3} \\ &= 2\left( \frac{-a^3 + 3a^2}{6} \right) - \frac{2}{3} \\ &= \frac{-a^3 + 3a^2}{3} - \frac{2}{3} \\ &= \frac{-a^3 + 3a^2 - 2}{3} \end{align*}

(ii) $a \geq 1$ の場合:

$-1 \leq x \leq 1$ のとき、$x-a \leq 0$ かつ $x-1 \leq 0$ なので、$(x-a)(x-1) \geq 0$。

したがって、

\begin{align*} \int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx &= \int_{-1}^{1} (x-a)(x-1) dx \\ &= \int_{-1}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx \\ &= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{(a+1)x^2}{2} + ax \right]_{-1}^{1} \\ &= \left( \frac{1}{3} - \frac{(a+1)}{2} + a \right) - \left( \frac{-1}{3} - \frac{(a+1)}{2} - a \right) \\ &= \frac{2}{3} + 2a \\ &= \frac{2+6a}{3} \end{align*}

(iii) $0 < a < 1$の時の計算が正しいか、a=0.5で確認

$\frac{-(0.5)^3 + 3(0.5)^2 - 2}{3} = \frac{-0.125 + 0.75 - 2}{3} = \frac{-1.375}{3} = -0.458333...$

積分の中身は常に正になるはずなので、これはおかしい。

再度計算

(i) $0 < a < 1$ の場合:

$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = \int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx + \int_{a}^{1} -(x-a)(x-1) dx$

$\int_{-1}^{a} x^2 - (a+1)x + a dx + \int_{a}^{1} -x^2 + (a+1)x - a dx$

$[\frac{x^3}{3} - (a+1)\frac{x^2}{2} + ax]_{-1}^a + [-\frac{x^3}{3} + (a+1)\frac{x^2}{2} - ax]_a^1$

$(\frac{a^3}{3} - (a+1)\frac{a^2}{2} + a^2) - (-\frac{1}{3} - (a+1)\frac{1}{2} - a) + (-\frac{1}{3} + (a+1)\frac{1}{2} - a) - (-\frac{a^3}{3} + (a+1)\frac{a^2}{2} - a^2)$

$\frac{a^3}{3} - \frac{a^3 + a^2}{2} + a^2 + \frac{1}{3} + \frac{a}{2} + \frac{1}{2} + a - \frac{1}{3} + \frac{a}{2} + \frac{1}{2} - a + \frac{a^3}{3} - \frac{a^3 + a^2}{2} + a^2$

$\frac{2}{3}a^3 - a^3 - a^2 + 2a^2 + 1 + a - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} a^3 + a^2 + a + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、$\frac{-a^3+3a^2-2}{3}$ ではなくて、$-\frac{1}{3}a^3 + a^2 + a + \frac{1}{3}$.

$a \geq 1$ のとき、$\frac{2+6a}{3}$