(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。 (5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ のとき、$f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を求める。

1. 問題の内容

(4) $f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^4}$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

(5) $f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}}$ のとき、$f_x(1, 1)$ と $f_y(1, 1)$ を求める。

2. 解き方の手順

(4)

偏微分の定義を利用する。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

まず、$f(0, 0)$ を求める。

$f(0, 0) = \sqrt{0^2 + 0^4} = 0$

次に、$f_x(0, 0)$ を求める。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0^4} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

この極限は $h \to 0^+$ のとき $1$、$h \to 0^-$ のとき $-1$ となるため、極限は存在しない。よって、$f_x(0, 0)$ は存在しない。

次に、$f_y(0, 0)$ を求める。

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{0^2 + k^4} - 0}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\sqrt{k^4}}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{k^2}{k} = \lim_{k \to 0} k = 0$

よって、$f_y(0, 0) = 0$

(5)

まず、$f(x, y)$ を計算する。

$f(x, y) = \lim_{p \to \infty} (|3x|^p + |2y|^p)^{\frac{1}{p}} = \max\{|3x|, |2y|\}$

次に、$f(1, 1)$ を計算する。

$f(1, 1) = \max\{|3 \cdot 1|, |2 \cdot 1|\} = \max\{3, 2\} = 3$

次に、$f_x(1, 1)$ を求める。

$f_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h, 1) - f(1, 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\max\{|3(1+h)|, |2|\} - 3}{h}$

$h$ が十分小さいとき、$|3(1+h)| = 3|1+h|$ であり、これが $2$ より大きければ $f(1+h, 1) = 3|1+h|$、そうでなければ $f(1+h, 1) = 2$ となる。

$3|1+h| > 2$ は $|1+h| > \frac{2}{3}$ と同値であり、これは $h > -\frac{1}{3}$ または $h < -\frac{5}{3}$ と同値。

$h > 0$ のとき、$3(1+h) > 2$ が常に成立するため、$f(1+h, 1) = 3(1+h)$ となる。

$f_x(1, 1) = \lim_{h \to 0} \frac{3(1+h) - 3}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$

次に、$f_y(1, 1)$ を求める。

$f_y(1, 1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1, 1+k) - f(1, 1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{\max\{|3|, |2(1+k)|\} - 3}{k}$

$h$ が十分小さいとき、$|2(1+k)| = 2|1+k|$ であり、これが $3$ より大きければ $f(1, 1+k) = 2|1+k|$、そうでなければ $f(1, 1+k) = 3$ となる。

$2|1+k| > 3$ は $|1+k| > \frac{3}{2}$ と同値であり、これは $k > \frac{1}{2}$ または $k < -\frac{5}{2}$ と同値。

$-1/2 < k < 1/2$ のとき、$max\{3, 2|1+k|\} = 3$ なので $f_y(1,1) = \lim_{k \to 0} \frac{3 - 3}{k} = 0$

3. 最終的な答え

(4) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0) = 0$

(5) $f_x(1, 1) = 3$, $f_y(1, 1) = 0$