関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求め、その結果が $\frac{x^2}{2} + \boxed{\phantom{xxxx}} + C$ の形になるように、空欄を埋める問題です。ここで、$C$ は積分定数です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ の不定積分 $\int f(x) dx$ を求め、その結果が $\frac{x^2}{2} + \boxed{\phantom{xxxx}} + C$ の形になるように、空欄を埋める問題です。ここで、$C$ は積分定数です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を変形します。

$x^3$ を $x^2 - 4$ で割ると、

$x^3 = x(x^2 - 4) + 4x$

したがって、

$f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4} = \frac{x(x^2 - 4) + 4x}{x^2 - 4} = x + \frac{4x}{x^2 - 4}$

次に、$\frac{4x}{x^2 - 4}$ を部分分数分解します。

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ なので、

$\frac{4x}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$

とおきます。両辺に $x^2 - 4$ をかけると、

$4x = A(x + 2) + B(x - 2)$

$4x = (A + B)x + 2A - 2B$

したがって、

$A + B = 4$

$2A - 2B = 0$

これより、$A = B$ なので、$2A = 4$ となり、$A = 2$、$B = 2$。

よって、

$\frac{4x}{x^2 - 4} = \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

したがって、$f(x) = x + \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$

$f(x)$ の不定積分は、

$\int f(x) dx = \int (x + \frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}) dx = \int x dx + \int \frac{2}{x - 2} dx + \int \frac{2}{x + 2} dx$

$= \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x - 2| + 2 \ln |x + 2| + C$

$= \frac{x^2}{2} + 2 (\ln |x - 2| + \ln |x + 2|) + C$

$= \frac{x^2}{2} + 2 \ln |(x - 2)(x + 2)| + C$

$= \frac{x^2}{2} + 2 \ln |x^2 - 4| + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln |x^2 - 4|$