以下の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x}$

1. 問題の内容

以下の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x}$

2. 解き方の手順

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ なので、$\cosh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{4}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} dx = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} dx$

分子と分母に $e^{2x}$ を掛けると、

$4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 2e^{2x} + 1} dx = 4 \int_{0}^{\infty} \frac{e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} dx$

ここで、$u = e^{2x}$ と置換すると、$du = 2e^{2x} dx$ なので、$e^{2x} dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$x=0$ のとき $u=e^0=1$ であり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$4 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(u+1)^2} \frac{1}{2} du = 2 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{(u+1)^2} du$

$v = u+1$ と置換すると、$dv = du$ であり、$u=1$ のとき $v=2$ であり、$u \to \infty$ のとき $v \to \infty$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$2 \int_{2}^{\infty} \frac{1}{v^2} dv = 2 \left[ -\frac{1}{v} \right]_{2}^{\infty} = 2 \left( -\frac{1}{\infty} + \frac{1}{2} \right) = 2 \left( 0 + \frac{1}{2} \right) = 1$

3. 最終的な答え

1