与えられた不定積分 $\int \frac{\cos(\tan x)}{\cos^2 x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int \frac{\cos(\tan x)}{\cos^2 x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan x$ と置換します。

すると、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$ より、$dt = \frac{dx}{\cos^2 x}$ となります。

したがって、元の積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{\cos(\tan x)}{\cos^2 x} dx = \int \cos t dt$

$\int \cos t dt = \sin t + C$ （$C$は積分定数）

最後に、$t = \tan x$ を代入して、元の変数に戻します。

$\sin t + C = \sin(\tan x) + C$

3. 最終的な答え

$\sin(\tan x) + C$