次の定積分を計算します。 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x} $$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

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\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x}

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2. 解き方の手順

$\cosh x$ の定義を思い出します。

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\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

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したがって、

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\cosh^2 x = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}

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これにより、被積分関数は次のようになります。

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\frac{1}{\cosh^2 x} = \frac{4}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}

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ここで、$\tanh x$ を思い出します。

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\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}

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$\tanh x$ を微分すると、次のようになります。

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\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right) = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{1}{\cosh^2 x}

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したがって、求める積分は次のようになります。

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\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x} = \int_{0}^{\infty} \frac{d}{dx} \tanh x \, dx = \left[ \tanh x \right]_{0}^{\infty}

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ここで、$\tanh x$ の極限を計算します。

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\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

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\tanh 0 = \frac{e^0 - e^{-0}}{e^0 + e^{-0}} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0

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したがって、

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\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\cosh^2 x} = \left[ \tanh x \right]_{0}^{\infty} = 1 - 0 = 1

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3. 最終的な答え

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