問題は、放物線 $y = x^2 - 4$ と2直線 $y = 2a(x+2)$, $y = -2a(x-2)$ で囲まれた長方形PQRSに関するものです。ここで、$a$ は正の実数であり、点P, Qはそれぞれ直線 $y = -2a(x-2)$, $y = 2a(x+2)$ 上の点であり、点R, Sはともに放物線 $y = x^2 - 4$ 上の点です。また、点Pのx座標とy座標はともに正であり、点Pと点Sのx座標は等しいとします。点Pのx座標を $t$ とおきます。このとき、以下の問いに答えます。 (1) 点Pのx座標、y座標がともに正であることから、$t$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) $a = \frac{1}{2}$ とするとき、長方形PQRSが正方形となるような $t$ の値を求め、長方形PQRSの周の長さ $L(t)$ を求め、さらに $L(t)$ の最大値を求めます。 (3) 長方形PQRSの周の長さが、$0 < t < (1)$ において最大値をもつような $a$ の値の範囲を求め、その最大値を求めます。

1. 問題の内容

問題は、放物線 $y = x^2 - 4$ と2直線 $y = 2a(x+2)$, $y = -2a(x-2)$ で囲まれた長方形PQRSに関するものです。ここで、$a$ は正の実数であり、点P, Qはそれぞれ直線 $y = -2a(x-2)$, $y = 2a(x+2)$ 上の点であり、点R, Sはともに放物線 $y = x^2 - 4$ 上の点です。また、点Pのx座標とy座標はともに正であり、点Pと点Sのx座標は等しいとします。点Pのx座標を $t$ とおきます。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 点Pのx座標、y座標がともに正であることから、$t$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) $a = \frac{1}{2}$ とするとき、長方形PQRSが正方形となるような $t$ の値を求め、長方形PQRSの周の長さ $L(t)$ を求め、さらに $L(t)$ の最大値を求めます。

(3) 長方形PQRSの周の長さが、$0 < t < (1)$ において最大値をもつような $a$ の値の範囲を求め、その最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Pのx座標は $t$ なので、y座標は $y = -2a(t-2)$ となります。

点Pのy座標が正であることから、$-2a(t-2) > 0$。$a>0$ より、 $t - 2 < 0$ つまり $t < 2$。

また、点Sのx座標も $t$ なので、点Sのy座標は $t^2 - 4$ となります。

点Pのy座標が正であるためには、点Sのy座標も正でなければならないので、$t^2 - 4 > 0$。

$t^2 > 4$ より、$t > 2$ または $t < -2$。

点Pのx座標は正であることから、$t > 0$。

したがって、$0 < t < 2$ でなければならない。

ここで、$t^2 - 4 > 0$ は、$t>2$ または $t < -2$ を意味するため、点Sが放物線の下の部分にあることはない。

ただし、$t$ は $x > 0$ である必要があるので、$t > 2$ である。

点Pの座標は $(t, -2a(t-2))$ であり、これが第一象限にあるためには $t>0$ かつ $-2a(t-2) > 0$ である必要がある。よって $t<2$。

点Sの座標は $(t, t^2-4)$ であり、点Sが放物線上の点として存在するためには $t>0$ かつ $t^2-4 > -4$ である必要がある。

点Pのy座標が正であるためには $-2a(t-2) > 0$ であり、$a>0$ より $t < 2$ である必要がある。

したがって、$0 < t < 2$ が成り立つ。

$t=2$ のとき、$-2a(2-2) = 0$。

したがって、$0 < t < 2$ である。

(2)

$a = \frac{1}{2}$ のとき、点Pの座標は $(t, -(t-2)) = (t, 2-t)$、点Qの座標は $(-t, t+2)$、点Rの座標は $(-t, t^2 - 4)$、点Sの座標は $(t, t^2 - 4)$。

長方形PQRSの横の長さは $2t$、縦の長さは $(2-t) - (t^2 - 4) = 6 - t - t^2$。

正方形になるためには $2t = 6 - t - t^2$ が必要。

$t^2 + 3t - 6 = 0$ より、$t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$。

$t > 0$ より、$t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$。

長方形PQRSの周の長さ $L(t) = 2(2t + 6 - t - t^2) = 2(t + 6 - t^2) = -2t^2 + 2t + 12$。

$L(t) = -2(t^2 - t) + 12 = -2(t^2 - t + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} + 12 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{25}{2}$。

$L(t)$ の最大値は $t = \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{25}{2}$。

(3)

長方形PQRSの周の長さ $L(t) = 2(2t + (-2a(t-2) - (t^2-4)) = 2(2t - 2at + 4a - t^2 + 4) = 2(-t^2 + (2-2a)t + 4a + 4)$。

$L(t) = -2t^2 + (4-4a)t + 8a + 8$。

$L'(t) = -4t + 4 - 4a = 0$ より、$t = 1 - a$。

$0 < t < 2$ の範囲で最大値を持つためには、$0 < 1 - a < 2$ が必要。

$-1 < -a < 1$ より、$-1 < a < 1$。

$a > 0$ より、$0 < a < 1$。

$t = 1-a$ のとき、$L(1-a) = -2(1-a)^2 + (4-4a)(1-a) + 8a + 8 = -2(1-2a+a^2) + 4 - 4a - 4a + 4a^2 + 8a + 8 = -2 + 4a - 2a^2 + 4 - 8a + 4a^2 + 8a + 8 = 2a^2 + 4a + 10$。

$f(a) = 2a^2 + 4a + 10 = 2(a^2 + 2a) + 10 = 2(a^2 + 2a + 1) - 2 + 10 = 2(a+1)^2 + 8$。

$a = 1$ のとき、$f(1) = 2 + 4 + 10 = 16$。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$, $\frac{25}{2}$

(3) (1, 1), 16