関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log(x^2 + x)}{\log(x+1)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は、商の形で表されているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \log(x^2 + x)$、$v = \log(x+1)$ とします。

まず、$u$ の微分を計算します。

$u' = \frac{d}{dx} \log(x^2 + x) = \frac{1}{x^2+x} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+x) = \frac{1}{x^2+x} \cdot (2x+1) = \frac{2x+1}{x(x+1)}$

次に、$v$ の微分を計算します。

$v' = \frac{d}{dx} \log(x+1) = \frac{1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{x+1}$

これらの結果を商の微分公式に代入します。

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)} \log(x+1) - \log(x^2+x) \frac{1}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

式を整理するために、$\log(x^2+x) = \log(x(x+1)) = \log x + \log(x+1)$ を使います。

$y' = \frac{\frac{2x+1}{x(x+1)} \log(x+1) - \frac{\log x + \log(x+1)}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\frac{(2x+1)\log(x+1)}{x(x+1)} - \frac{\log x + \log(x+1)}{x+1}}{(\log(x+1))^2}$

分子を通分します。

$y' = \frac{\frac{(2x+1)\log(x+1) - x(\log x + \log(x+1))}{x(x+1)}}{(\log(x+1))^2} = \frac{(2x+1)\log(x+1) - x\log x - x\log(x+1)}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{(2x+1-x)\log(x+1) - x\log x}{x(x+1)(\log(x+1))^2} = \frac{(x+1)\log(x+1) - x\log x}{x(x+1)(\log(x+1))^2}$

$y' = \frac{\log(x+1)}{x(\log(x+1))^2} - \frac{x\log x}{x(x+1)(\log(x+1))^2} = \frac{1}{x\log(x+1)} - \frac{\log x}{(x+1)(\log(x+1))^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(x+1) \log(x+1) - x \log x}{x(x+1) (\log(x+1))^2}$

または

$y' = \frac{1}{x\log(x+1)} - \frac{\log x}{(x+1)(\log(x+1))^2}$