関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-2x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法を利用します。積の微分法とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が、$(uv)' = u'v + uv'$ で与えられるというものです。

この問題では、$u(x) = x$、 $v(x) = e^{-2x}$ とおきます。

まず、$u(x)$ の微分を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}x = 1$

次に、$v(x)$ の微分を計算します。これは合成関数の微分になります。

$v'(x) = \frac{d}{dx} e^{-2x} = e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx}(-2x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$

積の微分法の公式に当てはめます。

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

$\frac{dy}{dx} = (1)(e^{-2x}) + (x)(-2e^{-2x})$

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x} - 2xe^{-2x}$

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - 2x)$