関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使います。つまり、$y = \log u$, $u = x + \sqrt{x^2 + 2}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 2}) = 1 + \frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 2}$

ここで、$\sqrt{x^2 + 2} = (x^2 + 2)^{1/2}$ なので、さらに合成関数の微分公式を使って、

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 2} = \frac{1}{2} (x^2 + 2)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2) = \frac{1}{2} (x^2 + 2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

したがって、

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 2}}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$