関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、商の微分公式を使用します。商の微分公式は、次のようになります。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

ここで、$u(x) = \log x$ と $v(x) = x^2$ とします。

まず、$u'(x)$ と $v'(x)$ を計算します。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

これらの導関数を商の微分公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{(x^2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x - 2x \log x}{x^4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - 2 \log x)}{x^4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$