関数 $y = x (\log x)^2$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x (\log x)^2$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分公式を利用する。

まず、$u = x$、$v = (\log x)^2$ とおくと、

$u' = 1$ である。

次に、$v = (\log x)^2$ を微分するために、合成関数の微分公式を用いる。

$w = \log x$ とおくと、$v = w^2$ より、

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \frac{dw}{dx} = 2w \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x}$

したがって、$v' = \frac{2 \log x}{x}$ となる。

積の微分公式より、

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (\log x)^2 + x \cdot \frac{2 \log x}{x} = (\log x)^2 + 2 \log x$

よって、

$y' = (\log x)^2 + 2 \log x = (\log x)(\log x + 2)$

3. 最終的な答え

$(\log x)^2 + 2 \log x$ あるいは $(\log x)(\log x + 2)$