$a$ を正の実数とする。放物線 $y = x^2 - 4$ と2直線 $y = 2a(x+2)$, $y = -2a(x-2)$ があり、図のような長方形PQRSを考える。ただし、点P, Qはそれぞれ直線 $y = -2a(x-2)$, $y = 2a(x+2)$ 上の点であり、点R, Sはともに放物線 $y = x^2 - 4$ 上の点である。また、点Pの $x$ 座標, $y$ 座標はともに正であるとし、点Pと点Sの $x$ 座標は等しいとする。さらに、点Pの $x$ 座標を $t$ とおく。 (1) 点Pの $x$ 座標, $y$ 座標がともに正であることから $t$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) $a = \frac{1}{2}$ とするとき、長方形PQRSが正方形となるような $t$ の値を求め、長方形PQRSの周の長さ $L(t)$ を $t$ で表し、$L(t)$ の最大値を求める。 (3) 長方形PQRSの周の長さが、$0 < t < (1)$ において最大値をもつような $a$ の値の範囲とその最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とする。放物線 $y = x^2 - 4$ と2直線 $y = 2a(x+2)$, $y = -2a(x-2)$ があり、図のような長方形PQRSを考える。ただし、点P, Qはそれぞれ直線 $y = -2a(x-2)$, $y = 2a(x+2)$ 上の点であり、点R, Sはともに放物線 $y = x^2 - 4$ 上の点である。また、点Pの $x$ 座標, $y$ 座標はともに正であるとし、点Pと点Sの $x$ 座標は等しいとする。さらに、点Pの $x$ 座標を $t$ とおく。

(1) 点Pの $x$ 座標, $y$ 座標がともに正であることから $t$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) $a = \frac{1}{2}$ とするとき、長方形PQRSが正方形となるような $t$ の値を求め、長方形PQRSの周の長さ $L(t)$ を $t$ で表し、$L(t)$ の最大値を求める。

(3) 長方形PQRSの周の長さが、$0 < t < (1)$ において最大値をもつような $a$ の値の範囲とその最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標は $(t, -2a(t-2))$ であり、$x$ 座標と $y$ 座標がともに正であるから、$t > 0$ かつ $-2a(t-2) > 0$ である。 $-2a(t-2) > 0$ より $t-2 < 0$ なので $t < 2$ である。したがって、$0 < t < 2$ となる。

(2) $a = \frac{1}{2}$ のとき、点Pの座標は $(t, -(t-2)) = (t, 2-t)$。点Sの座標は $(t, t^2 - 4)$。

PQの長さは点Pと点Qのy座標の差の絶対値であり、点Qは直線 $y = 2a(x+2)$ 上の点であるから、点Qのx座標は $-t$ である。点Qの座標は $(-t, 2a(-t+2)) = (-t, -t+2)$.

PSの長さは点Pと点Sのy座標の差の絶対値であり、$|(2-t) - (t^2 - 4)| = |-t^2 - t + 6| = |-(t+3)(t-2)| = (t+3)(2-t)$.

長方形が正方形となるためには、PQ = PS でなければならない。

$2t = (t+3)(2-t)$

$2t = -t^2 - t + 6$

$t^2 + 3t - 6 = 0$

$t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

ただし、$0 < t < 2$ より $t = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$ である。

長方形PQRSの周の長さL(t)は、L(t) = 2(PQ + PS) = 2(2t + (t+3)(2-t)) = 2(2t - t^2 - t + 6) = 2(-t^2 + t + 6) = -2t^2 + 2t + 12$

L(t) = $-2(t^2 - t) + 12 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 12 = -2(t - \frac{1}{2})^2 + 12.5$

最大値は $t = \frac{1}{2}$ のとき $12.5 = \frac{25}{2}$

(3) PQ = $2at$

PS = $-t^2 + 4 - (-2a(t-2))$ = $-t^2 + 4 + 2at - 4a$.

L(t) = $2(2at - t^2 + 4 + 2at - 4a) = 2(-t^2 + 4at - 4a + 4)$.

L(t) = $-2t^2 + 8at - 8a + 8$.

L'(t) = $-4t + 8a$.

最大値を持つtは $t = 2a$ であり、$0 < 2a < 2$, よって $0 < a < 1$

最大値は $L(2a) = -2(4a^2) + 8a(2a) - 8a + 8 = -8a^2 + 16a^2 - 8a + 8 = 8a^2 - 8a + 8 = 8(a^2 - a + 1)$

$8(a^2 - a + 1) = 8((a-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}) = 8(a - \frac{1}{2})^2 + 6$.

$0 < a < 1$ の範囲なので、a = 1/2のとき最小値6, a = 0 または a = 1のとき最大値

8.

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{-3 + \sqrt{33}}{2}$, $-2t^2 + 2t + 12$, $\frac{25}{2}$

(3) $0 < a < 1$, 8