関数 $y = xe^{x^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{x^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分法則と合成関数の微分法則（チェーンルール）を使います。

積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が、

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

となるというものです。

この問題では、 $u(x) = x$ と $v(x) = e^{x^2}$ と考えます。

まず、$u(x) = x$ の微分は、

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$

です。

次に、$v(x) = e^{x^2}$ の微分を考えます。これは合成関数の微分なので、

$\frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

となります。したがって、$v'(x) = 2xe^{x^2}$ です。

積の微分法則にこれらの結果を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \cdot e^{x^2} + x \cdot 2xe^{x^2} = e^{x^2} + 2x^2e^{x^2} = (1 + 2x^2)e^{x^2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (1 + 2x^2)e^{x^2}$