関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x \log x - x)^2$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。

$y = u^2$ とおくと、$u = x \log x - x$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ であるため、それぞれの微分を求めます。

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(x \log x - x)$

次に、$u = x \log x - x$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log x - x)$

積の微分法 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いると、

$\frac{d}{dx} (x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log x + x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

よって、

$\frac{du}{dx} = \log x + 1 - 1 = \log x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2(x \log x - x) \cdot \log x = 2x(\log x - 1) \log x = 2x (\log x)^2 - 2x \log x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x(\log x)^2 - 2x \log x$