定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を、$a>0$ の条件下で計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ を、$a>0$ の条件下で計算します。

2. 解き方の手順

$f(x) = (x-a)(x-1)$ とおきます。積分範囲は$-1 \le x \le 1$ です。

$f(x)$ の符号が変わる点を探します。$f(x) = 0$ となるのは $x = a$ または $x = 1$ のときです。

$a$ の値によって積分範囲内での $f(x)$ の符号の変化が異なるため、場合分けが必要です。$a>0$という条件に注意します。

(i) $0 < a < 1$ の場合:

$-1 \le x \le a$ では、$(x-a) \le 0$ かつ $(x-1) < 0$ なので、$(x-a)(x-1) \ge 0$

$a \le x \le 1$ では、$(x-a) \ge 0$ かつ $(x-1) \le 0$ なので、$(x-a)(x-1) \le 0$

したがって、

$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = \int_{-1}^{a} (x-a)(x-1) dx - \int_{a}^{1} (x-a)(x-1) dx$

$= \int_{-1}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx - \int_{a}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^{a} - \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax \right]_{a}^{1}$

$= \left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+1}{2}a^2 + a^2 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} - a \right) - \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+1}{2}a^2 + a^2 \right) \right]$

$= \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a^2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2} + a - \frac{1}{3} + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} - a + \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a^2$

$= \frac{2}{3}a^3 - a^3 + a^2 - a^2 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} a^3 + \frac{1}{3}$

(ii) $a \ge 1$ の場合:

$-1 \le x \le 1$ において $(x-a) \le 0$ かつ $(x-1) \le 0$ なので、$(x-a)(x-1) \ge 0$

$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = \int_{-1}^{1} (x-a)(x-1) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - (a+1)x + a) dx$

$= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} + a \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{a+1}{2} - a \right)$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} + a = \frac{2}{3} + 2a = 2a + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = -\frac{1}{3}a^3+\frac{1}{3}$

$a \ge 1$ のとき、$\int_{-1}^{1} |(x-a)(x-1)| dx = 2a + \frac{2}{3}$