導関数 $f'(x) = 3x^2 - 2x + 1$ と条件 $f(-1) = 3$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

導関数 $f'(x) = 3x^2 - 2x + 1$ と条件 $f(-1) = 3$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を積分して $f(x)$ を求める。

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (3x^2 - 2x + 1) dx$

積分を実行すると、

$f(x) = x^3 - x^2 + x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

次に、$f(-1) = 3$ という条件を使って $C$ の値を決定する。

$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + C = -1 - 1 - 1 + C = -3 + C$

$f(-1) = 3$ より、$-3 + C = 3$ となる。

したがって、$C = 6$ である。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^3 - x^2 + x + 6$