2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ (ただし $x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ (ただし $x \geq 2$) が与えられている。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2つの関数 $f(x) = x^2 + 2$ (ただし $x \geq 0$) と $g(x) = \sqrt{x-2}$ (ただし $x \geq 2$) が与えられている。合成関数 $(f \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(f \circ f)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(f \circ f)(x) = f(f(x))$ である。

$f(x) = x^2 + 2$ なので、$f(f(x)) = f(x^2 + 2)$ となる。

$x$ を $x^2 + 2$ で置き換えると、

$f(x^2 + 2) = (x^2 + 2)^2 + 2$

$(x^2 + 2)^2 + 2 = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 = x^4 + 4x^2 + 6$

したがって、$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$。

$x \geq 0$ より $f(x) \geq 2$ であり、$f(x)$ の定義域の制限は満たされる。

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ である。

$g(x) = \sqrt{x-2}$ なので、$f(g(x)) = f(\sqrt{x-2})$ となる。

$x$ を $\sqrt{x-2}$ で置き換えると、

$f(\sqrt{x-2}) = (\sqrt{x-2})^2 + 2$

$(\sqrt{x-2})^2 + 2 = x - 2 + 2 = x$

したがって、$(f \circ g)(x) = x$。

ただし、$x \geq 2$ である必要がある。

3. 最終的な答え

$(f \circ f)(x) = x^4 + 4x^2 + 6$

$(f \circ g)(x) = x$ （ただし、$x \geq 2$）