$0 < x < 2$ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $x + x(1-x) + x(1-x)^2 + \cdots + x(1-x)^{n-1} + \cdots$ の和を求める。

解析学無限等比級数収束級数の和
2025/7/22

1. 問題の内容

0<x<20 < x < 2 を満たす実数 xx に対して、無限等比級数 x+x(1x)+x(1x)2++x(1x)n1+x + x(1-x) + x(1-x)^2 + \cdots + x(1-x)^{n-1} + \cdots の和を求める。

2. 解き方の手順

この無限等比級数の初項は a=xa = x であり、公比は r=1xr = 1-x である。
無限等比級数が収束するための条件は r<1|r| < 1 である。
この問題の場合、r=1xr = 1-x なので、 1x<1|1-x| < 1 が成り立つ必要がある。
1<1x<1-1 < 1-x < 1 を解くと、2<x<0-2 < -x < 0 となり、0<x<20 < x < 2 が得られる。これは問題文の条件と一致する。
したがって、無限等比級数は収束し、その和は次の公式で計算できる。
S=a1rS = \frac{a}{1-r}
ここに a=xa=xr=1xr=1-x を代入すると、
S=x1(1x)=x11+x=xx=1S = \frac{x}{1-(1-x)} = \frac{x}{1-1+x} = \frac{x}{x} = 1

3. 最終的な答え

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