$0 < x < 2$ を満たす実数 $x$ に対して、無限等比級数 $x + x(1-x) + x(1-x)^2 + \cdots + x(1-x)^{n-1} + \cdots$ の和を求める。
2025/7/22
1. 問題の内容
を満たす実数 に対して、無限等比級数 の和を求める。
2. 解き方の手順
この無限等比級数の初項は であり、公比は である。
無限等比級数が収束するための条件は である。
この問題の場合、 なので、 が成り立つ必要がある。
を解くと、 となり、 が得られる。これは問題文の条件と一致する。
したがって、無限等比級数は収束し、その和は次の公式で計算できる。
ここに と を代入すると、
3. 最終的な答え
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