$\lim_{x\to\infty} (1-\frac{3}{x})^x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (1-\frac{3}{x})^x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x\to\infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$ を利用することを考えます。

与えられた式をこの形に近づけるために、

$y = -x/3$とおくと、$x=-3y$ となり、$x\to\infty$のとき$y\to-\infty$となります。

したがって、

$\lim_{x\to\infty} (1-\frac{3}{x})^x = \lim_{y\to-\infty} (1+\frac{1}{y})^{-3y}$

$=\lim_{y\to-\infty} ((1+\frac{1}{y})^y)^{-3}$

$\lim_{y\to-\infty} (1+\frac{1}{y})^y$ は $e$ に収束します。なぜなら $\lim_{y\to\infty} (1+\frac{1}{y})^y = e$であり、

$\lim_{y\to-\infty} (1+\frac{1}{y})^y = \lim_{t\to\infty} (1-\frac{1}{t})^(-t) = \lim_{t\to\infty} (\frac{t-1}{t})^{-t} = \lim_{t\to\infty} (\frac{t}{t-1})^{t} = \lim_{t\to\infty} (1+\frac{1}{t-1})^{t} = \lim_{t\to\infty} (1+\frac{1}{t-1})^{t-1} (1+\frac{1}{t-1}) = e \cdot 1 = e$ だからです。

よって、

$\lim_{x\to\infty} (1-\frac{3}{x})^x = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$