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$\int \cos^2 x dx$ を計算します。

解析学積分三角関数定積分
2025/7/27
##

5. (1) の問題

1. **問題の内容**

∫cos⁡2xdx\int \cos^2 x dx を計算します。

2. **解き方の手順**

cos⁡2x\cos 2x の倍角の公式を使って cos⁡2x\cos^2 x を書き換えます。倍角の公式は、
cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 です。
これより、
cos⁡2x=cos⁡2x+12\cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2}
となります。
したがって、
∫cos⁡2xdx=∫cos⁡2x+12dx=12∫(cos⁡2x+1)dx\int \cos^2 x dx = \int \frac{\cos 2x + 1}{2} dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x + 1) dx
となります。
∫cos⁡2xdx=12sin⁡2x\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x
∫1dx=x\int 1 dx = x
ですから、
12∫(cos⁡2x+1)dx=12(12sin⁡2x+x)+C=14sin⁡2x+12x+C\frac{1}{2} \int (\cos 2x + 1) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin 2x + x) + C = \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{2} x + C
となります。
ただし、CC は積分定数です。

3. **最終的な答え**

∫cos⁡2xdx=sin⁡2x4+x2+C\int \cos^2 x dx = \frac{\sin 2x}{4} + \frac{x}{2} + C
##

6. (1) の問題

1. **問題の内容**

∫1cos⁡xdx=∫sec⁡xdx\int \frac{1}{\cos x} dx = \int \sec x dx を計算します。

2. **解き方の手順**

∫sec⁡xdx=∫sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x)sec⁡x+tan⁡xdx\int \sec x dx = \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx
と変形します。
u=sec⁡x+tan⁡xu = \sec x + \tan x とおくと、
dudx=sec⁡xtan⁡x+sec⁡2x=sec⁡x(tan⁡x+sec⁡x)\frac{du}{dx} = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x (\tan x + \sec x)
ですから、
∫sec⁡x(sec⁡x+tan⁡x)sec⁡x+tan⁡xdx=∫1ududxdx=∫1udu=ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx = \int \frac{1}{u} \frac{du}{dx} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C
となります。

3. **最終的な答え**

∫1cos⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \frac{1}{\cos x} dx = \ln |\sec x + \tan x| + C
##

6. (2) の問題

1. **問題の内容**

∫sin⁡x−sin⁡3x1+cos⁡xdx\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx を計算します。

2. **解き方の手順**

sin⁡x−sin⁡3x=sin⁡x(1−sin⁡2x)=sin⁡xcos⁡2x\sin x - \sin^3 x = \sin x (1 - \sin^2 x) = \sin x \cos^2 x
ですから、
∫sin⁡x−sin⁡3x1+cos⁡xdx=∫sin⁡xcos⁡2x1+cos⁡xdx\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx
となります。
u=cos⁡xu = \cos x とおくと、
dudx=−sin⁡x\frac{du}{dx} = -\sin x
ですから、
∫sin⁡xcos⁡2x1+cos⁡xdx=∫−u21+udu=−∫u2u+1du\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{-u^2}{1 + u} du = - \int \frac{u^2}{u + 1} du
となります。
u2u+1=u2−1+1u+1=(u−1)(u+1)+1u+1=u−1+1u+1\frac{u^2}{u + 1} = \frac{u^2 - 1 + 1}{u + 1} = \frac{(u - 1)(u + 1) + 1}{u + 1} = u - 1 + \frac{1}{u + 1}
ですから、
−∫u2u+1du=−∫(u−1+1u+1)du=−(u22−u+ln⁡∣u+1∣)+C=−u22+u−ln⁡∣u+1∣+C- \int \frac{u^2}{u + 1} du = - \int (u - 1 + \frac{1}{u + 1}) du = - (\frac{u^2}{2} - u + \ln |u + 1|) + C = -\frac{u^2}{2} + u - \ln |u + 1| + C
u=cos⁡xu = \cos x を代入すると、
−cos⁡2x2+cos⁡x−ln⁡∣cos⁡x+1∣+C-\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln |\cos x + 1| + C
となります。

3. **最終的な答え**

∫sin⁡x−sin⁡3x1+cos⁡xdx=−cos⁡2x2+cos⁡x−ln⁡∣cos⁡x+1∣+C\int \frac{\sin x - \sin^3 x}{1 + \cos x} dx = -\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln |\cos x + 1| + C

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