与えられた不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \cos^2 x dx$ (2) $\int \sin^3 x dx$ (3) $\int \sin 3x \cos 2x dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \cos^2 x dx$

(2) $\int \sin^3 x dx$

(3) $\int \sin 3x \cos 2x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos^2 x dx$ を計算します。

$\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を使って、$\cos^2 x$ を書き換えます。

$\cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2}$

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{\cos 2x + 1}{2} dx = \frac{1}{2} \int (\cos 2x + 1) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 2x dx + \int 1 dx)$

$\int \cos 2x dx = \frac{\sin 2x}{2} + C$

$\int 1 dx = x + C$

したがって、

$\int \cos^2 x dx = \frac{1}{2} (\frac{\sin 2x}{2} + x) + C = \frac{\sin 2x}{4} + \frac{x}{2} + C$

(2) $\int \sin^3 x dx$ を計算します。

$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ を使って書き換えることもできますが、ここでは別の方法を使います。

$\sin^3 x = \sin^2 x \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$

$\int \sin^3 x dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x dx$

ここで、$u = \cos x$ と置くと、$du = - \sin x dx$ となります。

したがって、$\sin x dx = - du$ となり、

$\int (1 - \cos^2 x) \sin x dx = \int (1 - u^2) (-du) = - \int (1 - u^2) du = - (u - \frac{u^3}{3}) + C = - u + \frac{u^3}{3} + C = - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

(3) $\int \sin 3x \cos 2x dx$ を計算します。

積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$ を使います。

$\sin 3x \cos 2x = \frac{1}{2} (\sin(3x + 2x) + \sin(3x - 2x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x)$

$\int \sin 3x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x + \sin x) dx = \frac{1}{2} (\int \sin 5x dx + \int \sin x dx)$

$\int \sin 5x dx = - \frac{\cos 5x}{5} + C$

$\int \sin x dx = - \cos x + C$

したがって、

$\int \sin 3x \cos 2x dx = \frac{1}{2} (- \frac{\cos 5x}{5} - \cos x) + C = - \frac{\cos 5x}{10} - \frac{\cos x}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \cos^2 x dx = \frac{\sin 2x}{4} + \frac{x}{2} + C$

(2) $\int \sin^3 x dx = - \cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$

(3) $\int \sin 3x \cos 2x dx = - \frac{\cos 5x}{10} - \frac{\cos x}{2} + C$