(3) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ を求めよ。 (4) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(3) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ を求めよ。

(4) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行うと、

$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$(x,y) \to (0,0)$ は $r \to 0$ に対応する。

したがって、

\begin{align*} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} &= \lim_{r\to 0} \frac{r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r^2} \\ &= \lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)\end{align*}

ここで、$\cos^3\theta+\sin^3\theta$ は有界なので、

$\lim_{r\to 0} r(\cos^3\theta+\sin^3\theta) = 0$ となる。

(4)

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行うと、

$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$(x,y) \to (0,0)$ は $r \to 0$ に対応する。

したがって、

\begin{align*} \lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2) &= \lim_{r\to 0} r\cos\theta \cdot r\sin\theta \cdot \log(r^2) \\ &= \lim_{r\to 0} r^2\cos\theta\sin\theta \log(r^2) \\ &= \lim_{r\to 0} 2r^2\cos\theta\sin\theta \log(r)\end{align*}

ここで、$|\cos\theta\sin\theta| \leq 1$ なので、

$\lim_{r\to 0} 2r^2\cos\theta\sin\theta \log(r) = 0$ を示せばよい。

$\lim_{r\to 0} r^2\log r = 0$ であることを示せばよい。

$t = 1/r$ とおくと、$r \to 0$ のとき $t \to \infty$ であり、

$\lim_{r\to 0} r^2 \log r = \lim_{t\to \infty} \frac{\log(1/t)}{t^2} = \lim_{t\to \infty} \frac{-\log t}{t^2}$ となる。

ロピタルの定理より、

$\lim_{t\to \infty} \frac{-\log t}{t^2} = \lim_{t\to \infty} \frac{-1/t}{2t} = \lim_{t\to \infty} \frac{-1}{2t^2} = 0$ となる。

したがって、$\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy\log(x^2+y^2) = 0$ である。

3. 最終的な答え

(3) 0

(4) 0