関数 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は $C^2$ 級関数であるとする。 $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ と $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、$t$ の関数 $F(t) = f(a + ht, b + kt)$ を定義する。$F''(t)$ を $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ などの偏微分を用いて表わせ。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は $C^2$ 級関数であるとする。 $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ と $h, k \in \mathbb{R}$ に対して、$t$ の関数 $F(t) = f(a + ht, b + kt)$ を定義する。$F''(t)$ を $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ などの偏微分を用いて表わせ。

2. 解き方の手順

まず、$F(t) = f(x(t), y(t))$ とおく。ここで、$x(t) = a + ht$、 $y(t) = b + kt$ である。$F(t)$ を $t$ で微分するために、合成関数の微分法（連鎖律）を用いる。

$F'(t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} h + \frac{\partial f}{\partial y} k$

ここで、$\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ は、$x = a + ht$、 $y = b + kt$ における偏微分である。

次に、$F'(t)$ をさらに $t$ で微分して $F''(t)$ を求める。

$F''(t) = \frac{d}{dt} \left( h \frac{\partial f}{\partial x} + k \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

再び合成関数の微分法を用いると、

$F''(t) = h \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) + k \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

$= h \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \frac{dy}{dt} \right) + k \left( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{dy}{dt} \right)$

$= h \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} h + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} k \right) + k \left( \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} h + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} k \right)$

ここで、$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ であることを用いると、

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + kh \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

3. 最終的な答え

$F''(t) = h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a+ht, b+kt) + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a+ht, b+kt) + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a+ht, b+kt)$