関数 $f(x) = 4\sin x - 4\sin x \cos^2 x + 3\cos^2 x - 1$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。最大値は $x = \frac{\pi}{1}$ のときに $2$、最小値は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4}{5}\pi$ のときに $\frac{6}{7}$ となるようです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4\sin x - 4\sin x \cos^2 x + 3\cos^2 x - 1$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値と最小値を求め、与えられた空欄を埋める問題です。最大値は $x = \frac{\pi}{1}$ のときに $2$、最小値は $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4}{5}\pi$ のときに $\frac{6}{7}$ となるようです。

2. 解き方の手順

まずは $f(x)$ を整理します。$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いると、

$f(x) = 4\sin x - 4\sin x (1 - \sin^2 x) + 3(1 - \sin^2 x) - 1$

$f(x) = 4\sin x - 4\sin x + 4\sin^3 x + 3 - 3\sin^2 x - 1$

$f(x) = 4\sin^3 x - 3\sin^2 x + 2$

$t = \sin x$ とおくと、$0 \le x \le \pi$ より $0 \le t \le 1$ です。$g(t) = 4t^3 - 3t^2 + 2$ とおくと、

$g'(t) = 12t^2 - 6t = 6t(2t - 1)$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, \frac{1}{2}$ のときです。増減表を書くと以下のようになります。

| t | 0 | ... | 1/2 | ... | 1 |

| :--- | :-- | :---- | :-- | :---- | :-- |

| g'(t) | 0 | - | 0 | + | |

| g(t) | 2 | ↓ | | ↑ | 3 |

$g(0) = 2$

$g(1/2) = 4(1/8) - 3(1/4) + 2 = 1/2 - 3/4 + 2 = (2 - 3 + 8)/4 = 7/4$

$g(1) = 4 - 3 + 2 = 3$

したがって、$g(t)$ の最大値は $3$ ($t = 1$ のとき)、最小値は $7/4$ ($t = 1/2$ のとき) です。

$t = \sin x = 1$ より、$x = \frac{\pi}{2}$ で最大値 $3$ をとります。

$t = \sin x = \frac{1}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ で最小値 $7/4$ をとります。

したがって、求める答えは、

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、最大値 $=3$

$x=\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき、最小値 $=\frac{7}{4}$

問題文に与えられた情報と一致するように書き換えると、

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、最大値は3

$x = \frac{\pi}{6}$または$x=\frac{5\pi}{6}$ のとき、最小値は$\frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

x = π/2 のとき、(最大値) = 3

x = π/6, 5π/6 のとき、(最小値) = 7/4