$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos x}$ の積分を求めるために、まず分子と分母に $\cos x$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos^2 x}$

次に、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を使って、

$\frac{\cos x}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x}$

ここで、$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{1}{1 - u^2} du$

部分分数分解を使って、$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u}$ とします。

$1 = A(1 + u) + B(1 - u)$

$u = 1$ のとき、$1 = 2A$ なので、$A = \frac{1}{2}$

$u = -1$ のとき、$1 = 2B$ なので、$B = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{1 - u^2} = \frac{1/2}{1 - u} + \frac{1/2}{1 + u}$

積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{1 - u^2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - u} du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u} du$

$= -\frac{1}{2} \ln |1 - u| + \frac{1}{2} \ln |1 + u| + C$

$= \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + C$

$u = \sin x$ を代入すると、

$\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$

さらに、$\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} = \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} = \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} = \left( \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right)^2 = (\sec x + \tan x)^2$ なので、

$\frac{1}{2} \ln \left| (\sec x + \tan x)^2 \right| + C = \ln |\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |\sec x + \tan x| + C$