問題は、次の2つの関数の微分を求めることです。 (2) $y_2 = \frac{d}{dx}(-xe^{-x^2})$ (3) $y_3 = \frac{d}{dx}((1-x^2)e^{-x^2})$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数の微分を求めることです。

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(-xe^{-x^2})$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((1-x^2)e^{-x^2})$

2. 解き方の手順

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$u = -x$, $v = e^{-x^2}$ とすると、

$u' = -1$, $v' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

したがって、

$y_2 = \frac{d}{dx}(-xe^{-x^2}) = u'v + uv' = (-1)e^{-x^2} + (-x)(-2xe^{-x^2}) = -e^{-x^2} + 2x^2e^{-x^2} = (2x^2 - 1)e^{-x^2}$

(3) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$u = 1-x^2$, $v = e^{-x^2}$ とすると、

$u' = -2x$, $v' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

したがって、

$y_3 = \frac{d}{dx}((1-x^2)e^{-x^2}) = u'v + uv' = (-2x)e^{-x^2} + (1-x^2)(-2xe^{-x^2}) = -2xe^{-x^2} - 2xe^{-x^2} + 2x^3e^{-x^2} = (2x^3 - 4x)e^{-x^2} = 2x(x^2 - 2)e^{-x^2}$

3. 最終的な答え

(2) $y_2 = (2x^2 - 1)e^{-x^2}$

(3) $y_3 = 2x(x^2 - 2)e^{-x^2}$