与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$) について、以下の2つの問いに答える。 (1) この関数を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表す。 (2) この関数の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$) について、以下の2つの問いに答える。

(1) この関数を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表す。

(2) この関数の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ を $\sin 2x$ と $\cos 2x$ を用いて表す。

まず、倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ と $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ を利用する。

また、$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ である。

与式にこれらの公式を代入すると、

$y = \frac{1 + \cos 2x}{2} - \sin 2x + 3\frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x - \sin 2x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x = 2 - \sin 2x - \cos 2x$

よって、$y = 2 - (\sin 2x + \cos 2x)$。

さらに、$\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$ であるから、

$y = 2 - \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

(2) 関数 $y = 2 - \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$ の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

$-1 \le \sin (2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ である。

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ より、$2x = \frac{5\pi}{4}$ なので、$x = \frac{5\pi}{8}$。

このとき、$y = 2 - \sqrt{2}(-1) = 2 + \sqrt{2}$ (最大値)

$\sin (2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ より、$2x = \frac{\pi}{4}$ なので、$x = \frac{\pi}{8}$。

このとき、$y = 2 - \sqrt{2}(1) = 2 - \sqrt{2}$ (最小値)

3. 最終的な答え

(1) $y = 2 - \sin 2x - \cos 2x = 2 - \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

(2) 最大値 $2 + \sqrt{2}$ ( $x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)

最小値 $2 - \sqrt{2}$ ( $x = \frac{\pi}{8}$ のとき)