定積分 $\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

$\log x = 1 \cdot \log x$と見て、$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx$$

$$= [x \log x]_{1}^{e} - [x]_{1}^{e}$$

ここで、$x=e$ のとき $e \log e = e \cdot 1 = e$ であり、$x=1$ のとき $1 \log 1 = 1 \cdot 0 = 0$ であるから、

$$= (e - 0) - (e - 1)$$

$$= e - e + 1 = 1$$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{e} \log x dx = 1$