与えられた関数 $y = (1 + \sin x)\cos x$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (1 + \sin x)\cos x$ の導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

まず、$u = 1 + \sin x$、$v = \cos x$ とおくと、

$u' = \frac{d}{dx}(1 + \sin x) = \cos x$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

となります。

したがって、積の微分公式より、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (\cos x)(\cos x) + (1 + \sin x)(-\sin x)$

$= \cos^2 x - \sin x - \sin^2 x$

三角関数の恒等式 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \cos 2x - \sin x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \cos 2x - \sin x$