与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分子を分母で割ります。

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6$を$x^3 - x^2 - 8x + 12$で割ると、商は$x-1$、余りは$3x^2 + 5x + 18$となります。

したがって、

$\frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} = x - 1 + \frac{3x^2 + 5x + 18}{x^3 - x^2 - 8x + 12}$

次に、分母を因数分解します。

$x^3 - x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x^2+x-6) = (x-2)(x-2)(x+3) = (x-2)^2 (x+3)$

よって、

$\frac{3x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2 (x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2} + \frac{C}{x+3}$

両辺に$(x-2)^2 (x+3)$をかけると、

$3x^2 + 5x + 18 = A(x-2)(x+3) + B(x+3) + C(x-2)^2$

$3x^2 + 5x + 18 = A(x^2+x-6) + B(x+3) + C(x^2-4x+4)$

$3x^2 + 5x + 18 = (A+C)x^2 + (A+B-4C)x + (-6A+3B+4C)$

係数を比較すると、

$A+C = 3$

$A+B-4C = 5$

$-6A+3B+4C = 18$

これらの連立方程式を解きます。

$A = 3 - C$

$(3 - C) + B - 4C = 5 \Rightarrow B - 5C = 2 \Rightarrow B = 2 + 5C$

$-6(3 - C) + 3(2 + 5C) + 4C = 18$

$-18 + 6C + 6 + 15C + 4C = 18$

$25C = 30$

$C = \frac{6}{5}$

$A = 3 - \frac{6}{5} = \frac{9}{5}$

$B = 2 + 5(\frac{6}{5}) = 2 + 6 = 8$

したがって、

$\frac{3x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2 (x+3)} = \frac{9/5}{x-2} + \frac{8}{(x-2)^2} + \frac{6/5}{x+3}$

$\int \frac{3x^2 + 5x + 18}{(x-2)^2 (x+3)} dx = \frac{9}{5} \int \frac{1}{x-2} dx + 8 \int \frac{1}{(x-2)^2} dx + \frac{6}{5} \int \frac{1}{x+3} dx$

$= \frac{9}{5} \ln |x-2| - \frac{8}{x-2} + \frac{6}{5} \ln |x+3| + C$

$\int (x - 1) dx = \frac{x^2}{2} - x + C$

元の積分は、

$\int \frac{x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 13x + 6}{x^3 - x^2 - 8x + 12} dx = \int (x - 1 + \frac{3x^2 + 5x + 18}{x^3 - x^2 - 8x + 12}) dx$

$= \frac{x^2}{2} - x + \frac{9}{5} \ln |x-2| - \frac{8}{x-2} + \frac{6}{5} \ln |x+3| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} - x + \frac{9}{5} \ln |x-2| - \frac{8}{x-2} + \frac{6}{5} \ln |x+3| + C$