$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \log x + 2$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \log x + 2$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ で微分します。積分区間の上限が $x$ である積分を微分すると、

$\frac{d}{dx} \int_{2a}^{x} \frac{1}{t} f(t) dt = \frac{1}{x} f(x)$

となります。一方、$\log x + 2$ を $x$ で微分すると $\frac{1}{x}$ となります。

したがって、

$\frac{1}{x} f(x) = \frac{1}{x}$

より、$f(x) = 1$ が得られます。

次に、$f(t) = 1$ を与えられた積分に代入します。

$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} dt = \log x + 2$

左辺の積分を計算すると、

$\int_{2a}^{x} \frac{1}{t} dt = [\log t]_{2a}^{x} = \log x - \log (2a)$

したがって、

$\log x - \log (2a) = \log x + 2$

$-\log (2a) = 2$

$\log (2a) = -2$

$2a = e^{-2}$

$a = \frac{e^{-2}}{2} = \frac{1}{2e^2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2e^2}$