関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x - 3t)\cos t \, dt$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x - 3t)\cos t \, dt$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を積分記号の外に出せるように変形します。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} x\cos t \, dt - \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} 3t\cos t \, dt$

$F(x) = x \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt - 3 \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t\cos t \, dt$

次に、各項を微分します。

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt \right) - 3 \frac{d}{dx} \left( \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t\cos t \, dt \right)$

第一項を積の微分公式を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} \left( x \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt \right) = 1 \cdot \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt \right)$

$= \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt + x \cos x$

$= [\sin t]_{\frac{\pi}{3}}^{x} + x \cos x$

$= \sin x - \sin \frac{\pi}{3} + x \cos x$

$= \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} + x \cos x$

第二項を微分の基本定理を用いて微分します。

$\frac{d}{dx} \left( \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t\cos t \, dt \right) = x \cos x$

したがって、

$F'(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} + x \cos x - 3(x \cos x)$

$F'(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2x \cos x$

3. 最終的な答え

$F'(x) = \sin x - 2x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$