積分方程式 $\int_a^x tf(t) dt = -\frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

積分方程式 $\int_a^x tf(t) dt = -\frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分方程式の両辺を $x$ で微分します。

積分区間の上限に $x$ が含まれているので、微分積分学の基本定理を利用します。

$\frac{d}{dx} \int_a^x tf(t) dt = xf(x)$ となります。

また、$-\frac{1}{x} + 1$ を $x$ で微分すると $\frac{1}{x^2}$ となります。

したがって、$xf(x) = \frac{1}{x^2}$ が得られ、これから $f(x) = \frac{1}{x^3}$ となります。

次に、$f(t) = \frac{1}{t^3}$ を元の積分方程式に代入します。

$\int_a^x t \cdot \frac{1}{t^3} dt = \int_a^x \frac{1}{t^2} dt = -\frac{1}{x} + 1$

$\int_a^x \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_a^x = -\frac{1}{x} - \left( -\frac{1}{a} \right) = -\frac{1}{x} + \frac{1}{a}$

したがって、$-\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{x} + 1$ となり、$\frac{1}{a} = 1$ が導かれます。

3. 最終的な答え

$a = 1$