$0 \le x \le 2\pi$ において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、2つの曲線 $y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の交点を求める。

$\sin x = \cos x$ より、$\tan x = 1$。

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲でこれを満たす $x$ は、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$。

次に、区間を分けて積分する。

区間 $[0, \frac{\pi}{4}]$ では $\cos x \ge \sin x$ なので、面積は

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$。

区間 $[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$ では $\sin x \ge \cos x$ なので、面積は

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx$。

区間 $[\frac{5\pi}{4}, 2\pi]$ では $\cos x \ge \sin x$ なので、面積は

$\int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx$。

したがって、求める面積 $S$ は

$S = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) dx$

$= [\sin x + \cos x]_0^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} + [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - (0 + 1)) + ((-\frac{-\sqrt{2}}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})) + ((0 + 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{-\sqrt{2}}{2}))$

$= (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2})$

$= \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}$

$= 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$