定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} tf(t) dt = \frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

1. 問題の内容

定積分を含む等式 $\int_{a}^{x} tf(t) dt = \frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。ただし、$x > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。積分の微分に関する基本定理（微分積分学の基本定理）を使うと、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} tf(t) dt = xf(x)$

となります。

一方、右辺の微分は、

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{x} + 1) = -\frac{1}{x^2}$

したがって、

$xf(x) = -\frac{1}{x^2}$

となり、$f(x) = -\frac{1}{x^3}$ が得られます。

次に、求めた $f(t) = -\frac{1}{t^3}$ を元の等式に代入します。

$\int_{a}^{x} t(-\frac{1}{t^3}) dt = \frac{1}{x} + 1$

$\int_{a}^{x} -\frac{1}{t^2} dt = \frac{1}{x} + 1$

$\int_{a}^{x} -t^{-2} dt = \frac{1}{x} + 1$

$[-\frac{t^{-1}}{-1}]_{a}^{x} = \frac{1}{x} + 1$

$[\frac{1}{t}]_{a}^{x} = \frac{1}{x} + 1$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{a} = \frac{1}{x} + 1$

$-\frac{1}{a} = 1$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$