関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x-t) \sin t dt$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x-t) \sin t dt$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$F(x)$ を展開します。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} (x\sin t - t\sin t) dt = x\int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt - \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t\sin t dt$

$F(x)$ を $x$ で微分します。積の微分法と微積分学の基本定理を使います。

$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x\int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt - \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t\sin t dt \right)$

$F'(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt + x \frac{d}{dx}\int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt - \frac{d}{dx}\int_{\frac{\pi}{4}}^{x} t\sin t dt$

$F'(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt + x \sin x - x\sin x$

$F'(x) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{x} \sin t dt$

ここで、$\int \sin t dt = -\cos t + C$ なので、

$F'(x) = [-\cos t]_{\frac{\pi}{4}}^{x} = -\cos x - (-\cos \frac{\pi}{4})$

$F'(x) = -\cos x + \cos \frac{\pi}{4} = -\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$F'(x) = -\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}$