与えられた6つの関数 $y$ について、それぞれ $x$ で微分した導関数 $dy/dx$ を求める問題です。 (1) $y = (2x+1)^{-3}$ (2) $y = \sqrt[3]{6x+7}$ (3) $y = \sqrt{(5-2x)^3}$ (4) $y = (3x+2)^{\frac{4}{3}}$ (5) $y = \sqrt[4]{(3x+5)^3}$ (6) $y = (4x+5)^{-\frac{1}{4}}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数 $y$ について、それぞれ $x$ で微分した導関数 $dy/dx$ を求める問題です。

(1) $y = (2x+1)^{-3}$

(2) $y = \sqrt[3]{6x+7}$

(3) $y = \sqrt{(5-2x)^3}$

(4) $y = (3x+2)^{\frac{4}{3}}$

(5) $y = \sqrt[4]{(3x+5)^3}$

(6) $y = (4x+5)^{-\frac{1}{4}}$

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を利用します。

(1) $y = (2x+1)^{-3}$

$u = 2x+1$ とおくと、$y = u^{-3}$。

$\frac{dy}{du} = -3u^{-4}$、$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -3(2x+1)^{-4} \cdot 2 = -6(2x+1)^{-4}$

(2) $y = \sqrt[3]{6x+7} = (6x+7)^{\frac{1}{3}}$

$u = 6x+7$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{3}}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$、$\frac{du}{dx} = 6$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{3}(6x+7)^{-\frac{2}{3}} \cdot 6 = 2(6x+7)^{-\frac{2}{3}}$

(3) $y = \sqrt{(5-2x)^3} = (5-2x)^{\frac{3}{2}}$

$u = 5-2x$ とおくと、$y = u^{\frac{3}{2}}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{3}{2}u^{\frac{1}{2}}$、$\frac{du}{dx} = -2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{3}{2}(5-2x)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2) = -3(5-2x)^{\frac{1}{2}}$

(4) $y = (3x+2)^{\frac{4}{3}}$

$u = 3x+2$ とおくと、$y = u^{\frac{4}{3}}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{4}{3}u^{\frac{1}{3}}$、$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{4}{3}(3x+2)^{\frac{1}{3}} \cdot 3 = 4(3x+2)^{\frac{1}{3}}$

(5) $y = \sqrt[4]{(3x+5)^3} = (3x+5)^{\frac{3}{4}}$

$u = 3x+5$ とおくと、$y = u^{\frac{3}{4}}$。

$\frac{dy}{du} = \frac{3}{4}u^{-\frac{1}{4}}$、$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{3}{4}(3x+5)^{-\frac{1}{4}} \cdot 3 = \frac{9}{4}(3x+5)^{-\frac{1}{4}}$

(6) $y = (4x+5)^{-\frac{1}{4}}$

$u = 4x+5$ とおくと、$y = u^{-\frac{1}{4}}$。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{4}u^{-\frac{5}{4}}$、$\frac{du}{dx} = 4$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{4}(4x+5)^{-\frac{5}{4}} \cdot 4 = -(4x+5)^{-\frac{5}{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -6(2x+1)^{-4}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 2(6x+7)^{-\frac{2}{3}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -3(5-2x)^{\frac{1}{2}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = 4(3x+2)^{\frac{1}{3}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{9}{4}(3x+5)^{-\frac{1}{4}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = -(4x+5)^{-\frac{5}{4}}$