$\sqrt{245-7n}$ が整数となる自然数 $n$ の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{245-7n}$ が整数となる自然数 $n$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{245-7n}$ が整数になるためには、$245-7n$ が0以上の平方数でなければなりません。つまり、$245-7n = k^2$ （$k$ は0以上の整数）となる必要があります。

$245 - 7n \ge 0$ である必要があるので、$7n \le 245$ より、$n \le 35$ である必要があります。

$245 - 7n = k^2$ を変形すると、$7n = 245 - k^2$ となります。

さらに、$n = \frac{245 - k^2}{7}$ となります。

ここで、$n$ は自然数である必要があるので、$245 - k^2$ は7の倍数でなければなりません。

言い換えると、$245 - k^2 \equiv 0 \pmod{7}$ である必要があります。

$245 = 7 \times 35$ なので、$245 \equiv 0 \pmod{7}$ です。

したがって、$k^2 \equiv 0 \pmod{7}$ となる必要があります。

これは、$k$ が7の倍数であることと同値です。

よって、$k = 7m$ （$m$ は0以上の整数）と置くことができます。

$n = \frac{245 - (7m)^2}{7} = \frac{245 - 49m^2}{7} = 35 - 7m^2$ となります。

$n$ は自然数なので、$35 - 7m^2 > 0$ である必要があります。

$7m^2 < 35$ より、$m^2 < 5$ となります。

したがって、$m = 0, 1, 2$ のいずれかになります。

- $m = 0$ のとき、$n = 35 - 7(0)^2 = 35$

- $m = 1$ のとき、$n = 35 - 7(1)^2 = 28$

- $m = 2$ のとき、$n = 35 - 7(2)^2 = 35 - 28 = 7$

3. 最終的な答え

$n = 7, 28, 35$