(1) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 4$ について、$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ の値を求める。 (2) 関数 $y = ax + b$ の定義域が $-2 \le x \le 4$ のとき、値域が $-10 \le y \le 8$ である。ただし、$a < 0$ とする。$a$、$b$ の値を求める。 (3) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 4$ について、$f(0)$、$f(1)$、$f(2)$ の値を求める。

(2) 関数 $y = ax + b$ の定義域が $-2 \le x \le 4$ のとき、値域が $-10 \le y \le 8$ である。ただし、$a < 0$ とする。$a$、$b$ の値を求める。

(3) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^2 + 2x - 4$ に $x = 0, 1, 2$ を代入して計算する。

$f(0) = 0^2 + 2(0) - 4 = -4$

$f(1) = 1^2 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$

$f(2) = 2^2 + 2(2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$

(2)

$y = ax + b$ は一次関数であり、$a < 0$ なので、減少関数である。

したがって、定義域の最小値 $x = -2$ で最大値 $y = 8$ をとり、定義域の最大値 $x = 4$ で最小値 $y = -10$ をとる。

つまり、

$8 = a(-2) + b$

$-10 = a(4) + b$

この連立方程式を解く。

$8 = -2a + b$

$-10 = 4a + b$

2つの式を引き算すると

$18 = -6a$

$a = -3$

$8 = -2(-3) + b$

$8 = 6 + b$

$b = 2$

(3)

$y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

まず、$x^2$ の係数でくくる。

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

次に、括弧の中を平方完成する。

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1) $f(0) = -4$, $f(1) = -1$, $f(2) = 4$

(2) $a = -3$, $b = 2$

(3) $y = 2(x - 1)^2 - 3$