(1) 3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-2, 15)$ を通る2次関数を求める問題。 (2) 3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-1, -4)$ を通る2次関数を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 3点 $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-2, 15)$ を通る2次関数を求める問題。

(2) 3点 $(3, 0)$, $(0, -9)$, $(-1, -4)$ を通る2次関数を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、以下の3つの式を得る。

\begin{align*}

a(1)^2 + b(1) + c &= 0 \\

a(0)^2 + b(0) + c &= 1 \\

a(-2)^2 + b(-2) + c &= 15

\end{align*}

これを整理すると、

\begin{align*}

a + b + c &= 0 \\

c &= 1 \\

4a - 2b + c &= 15

\end{align*}

$c = 1$ を他の式に代入すると、

\begin{align*}

a + b + 1 &= 0 \\

4a - 2b + 1 &= 15

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

a + b &= -1 \\

4a - 2b &= 14

\end{align*}

上の式を2倍して下の式に足すと、

\begin{align*}

2a + 2b &= -2 \\

4a - 2b &= 14

\end{align*}

$6a = 12$ より $a = 2$。

$a + b = -1$ に $a = 2$ を代入して $2 + b = -1$ より $b = -3$。

したがって、 $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$ となるので、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x + 1$。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、以下の3つの式を得る。

\begin{align*}

a(3)^2 + b(3) + c &= 0 \\

a(0)^2 + b(0) + c &= -9 \\

a(-1)^2 + b(-1) + c &= -4

\end{align*}

これを整理すると、

\begin{align*}

9a + 3b + c &= 0 \\

c &= -9 \\

a - b + c &= -4

\end{align*}

$c = -9$ を他の式に代入すると、

\begin{align*}

9a + 3b - 9 &= 0 \\

a - b - 9 &= -4

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

9a + 3b &= 9 \\

a - b &= 5

\end{align*}

上の式を3で割ると、

\begin{align*}

3a + b &= 3 \\

a - b &= 5

\end{align*}

2つの式を足すと、 $4a = 8$ より $a = 2$。

$a - b = 5$ に $a = 2$ を代入して $2 - b = 5$ より $b = -3$。

したがって、$a = 2$, $b = -3$, $c = -9$ となるので、求める2次関数は $y = 2x^2 - 3x - 9$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 3x + 1$

(2) $y = 2x^2 - 3x - 9$