(1) 男子2人と女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は何通りあるか。 (2) 男子3人と女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。 (3) AAABBCの6つの文字を一列に並べる並べ方は何通りあるか。 (4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は全部で何通りあるか。 (5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。 (6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

1. 問題の内容

(1) 男子2人と女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は何通りあるか。

(2) 男子3人と女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

(3) AAABBCの6つの文字を一列に並べる並べ方は何通りあるか。

(4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は全部で何通りあるか。

(5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。

(6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人をひとまとめにして1つのグループと考える。すると、女子3人と合わせて4つのものを並べることになるので、その並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通り。

次に、男子2人の並び方は2通り。したがって、求める並べ方は $24 \times 2 = 48$通り。

(2) 男子と女子が交互に並ぶためには、男女男女男女の順か、女男女男女男の順で並ぶ必要がある。

男女男女男女の順の場合、男子の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通り、女子の並び方も $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りなので、$6 \times 6 = 36$通り。

女男女男女男の順の場合も同様に、$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$通り。

したがって、求める並べ方は $36 + 36 = 72$通り。

(3) 6つの文字を並べる順列は $6!$通りだが、Aが3つ、Bが2つあるので、同じ文字の並び順を考慮する必要がある。

したがって、$\frac{6!}{3!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$通り。

(4) AからPまで最短で行く方法は、右に2回、上に2回移動するので、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

PからBまで最短で行く方法は、右に2回、上に1回移動するので、$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$通り。

したがって、AからPを通ってBまで行く方法は $6 \times 3 = 18$通り。

(5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、全部で $2^4 = 16$通りの結果がある。

表が2回、裏が2回出るのは、4回のうち2回が表であれば良いので、$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

したがって、確率は $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$。

(6) 赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

3回の試行で赤玉が1回だけ出るのは、赤白白、白赤白、白白赤の3パターン。

それぞれの確率は $(\frac{2}{3}) (\frac{1}{3}) (\frac{1}{3}) = \frac{2}{27}$。

したがって、求める確率は $3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。

3. 最終的な答え

(1) 48通り

(2) 72通り

(3) 60通り

(4) 18通り

(5) $\frac{3}{8}$

(6) $\frac{2}{9}$